ECUACIONES CUADRÁTICAS

ECUACIONES CUADRATICAS

Las ecuaciones cuadráticas o ecuaciones de segundo grado son aquellas en donde el exponente del término desconocido está elevado al cuadrado, es decir, la incógnita está elevada al exponente 2. Tienen la forma general de un trinomio:

donde a, b y c son números reales y se conocen como coeficientes. Así, a es el coeficiente de x², b es el término o coeficiente de x y c es el término independiente.

Si a = 1, la ecuación cuadrática es reducida. Si a = 0, entonces deja de ser una ecuación de segundo grado, y se transforma en una ecuación de primer grado:

$estilo tamaño 14px negrita bx negrita más negrita c negrita igual negrita 0 fin estilo$

Tipos de ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas pueden ser completas o incompletas, dependiendo de si existen los términos dependiente de x (b) o independiente (c).

Ejemplo 1

Resolvamos la ecuación 3x²- 5x + 2 = 0

Los coeficientes son: a = 3, b = -5, c = 2.
Los sustituimos en la fórmula general:

$estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita coma negrita 2 fin subíndice negrita igual fracción numerador negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 5 negrita paréntesis derecho negrita más-menos raíz cuadrada de negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita 5 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita 4 negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita paréntesis derecho fin raíz entre denominador negrita 2 negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita paréntesis derecho fin fracción negrita igual fracción numerador negrita 5 negrita más-menos raíz cuadrada de negrita 25 negrita menos negrita 24 fin raíz entre denominador negrita 6 fin fracción fin estilo$

$estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita igual fracción numerador negrita 5 negrita más raíz cuadrada de negrita 1 entre denominador negrita 6 fin fracción negrita igual fracción numerador negrita 5 negrita más negrita 1 entre denominador negrita 6 fin fracción negrita igual negrita 1 fin estilo$

$estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 2 negrita igual fracción numerador negrita 5 negrita menos raíz cuadrada de negrita 1 entre denominador negrita 6 fin fracción negrita igual fracción numerador negrita 5 negrita menos negrita 1 entre denominador negrita 6 fin fracción negrita igual fracción negrita 4 entre negrita 6 negrita igual fracción negrita 2 entre negrita 3 fin estilo$

Las respuestas son x₁= 1 y x₂= 2/3.

Hacemos la comprobación de la siguiente forma:

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$estilo tamaño 14px negrita 5 negrita menos negrita 5 negrita igual negrita 0 fin estilo$

Como vemos, x₁= 1 satisface la ecuación.

$estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 2 negrita igual fracción negrita 2 entre negrita 3 negrita flecha doble derecha negrita 3 abrir paréntesis fracción negrita 2 entre negrita 3 cerrar paréntesis elevado a negrita 2 negrita menos negrita 5 abrir paréntesis fracción negrita 2 entre negrita 3 cerrar paréntesis negrita más negrita 2 negrita igual negrita 0 flecha doble derecha fracción negrita 4 entre negrita 3 negrita menos fracción negrita 10 entre negrita 3 negrita más fracción negrita 6 entre negrita 3 negrita igual negrita 0 fin estilo$

$estilo tamaño 14px fracción negrita 10 entre negrita 3 negrita menos fracción negrita 10 entre negrita 3 negrita igual negrita 0 fin estilo$

De igual forma, x₂= 2/3 es otra de las soluciones correctas.

Ejemplo 2

Resolvamos la ecuación 8x + 5 = 36x²

Los coeficientes son a = 36, b = -8, c = -5. Esto porque tenemos que arreglar la ecuación como un trinomio perfecto, y queda de la siguiente forma: 36x²- 8x - 5 = 0
Sustituimos los coeficientes en la forma general:

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$estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita igual fracción numerador negrita 8 negrita más raíz cuadrada de negrita 784 entre denominador negrita 72 fin fracción negrita igual fracción numerador negrita 8 negrita más negrita 28 entre denominador negrita 72 fin fracción negrita igual fracción negrita 36 entre negrita 72 negrita igual fracción negrita 1 entre negrita 2 fin estilo$

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Las respuestas son x₁= 1/2 y x₂= -5/18.

Si hacemos la comprobación, obtenemos:

$estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita igual fracción negrita 1 entre negrita 2 negrita flecha doble derecha negrita 36 abrir paréntesis fracción negrita 1 entre negrita 2 cerrar paréntesis elevado a negrita 2 negrita menos negrita 8 abrir paréntesis fracción negrita 1 entre negrita 2 cerrar paréntesis negrita menos negrita 5 negrita igual negrita 0 negrita flecha doble derecha negrita 9 negrita menos negrita 4 negrita menos negrita 5 negrita igual negrita 0 fin estilo$

$estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 2 negrita igual negrita menos fracción negrita 5 entre negrita 18 negrita flecha doble derecha negrita 36 abrir paréntesis negrita menos fracción negrita 5 entre negrita 18 cerrar paréntesis elevado a negrita 2 negrita menos negrita 8 abrir paréntesis negrita menos fracción negrita 5 entre negrita 18 cerrar paréntesis negrita menos negrita 5 negrita igual negrita 0 fin estilo$

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Ejemplo 3

Resolver la ecuación (5x - 4)²- (3x + 5)(2x - 1) = 20x(x - 2) + 27

Para aplicar la fórmula hay que llevarla a la forma ax²+ bx + c = 0

$estilo tamaño 14px negrita 25 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 40 negrita más negrita 16 negrita menos negrita 6 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 7 negrita x negrita más negrita 5 negrita igual negrita 20 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 40 negrita x negrita más negrita 27 fin estilo$

$estilo tamaño 14px negrita 25 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 40 negrita x negrita más negrita 16 negrita menos negrita 6 negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 7 negrita x negrita más negrita 5 negrita menos negrita 20 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 40 negrita x negrita menos negrita 27 negrita igual negrita 0 fin estilo$

$estilo tamaño 14px negrita menos negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 7 negrita x negrita menos negrita 6 negrita igual negrita 0 fin estilo$

En este caso tenemos que a = -1, b = -7, c = -6, entonces aplicando

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sustituimos los valores:

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$estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita igual fracción numerador negrita 7 negrita más negrita 5 entre denominador negrita menos negrita 2 fin fracción negrita igual negrita menos negrita 6 fin estilo$

$estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 2 negrita igual fracción numerador negrita 7 negrita menos negrita 5 entre denominador negrita menos negrita 2 fin fracción negrita igual negrita menos negrita 1 fin estilo$

SOPA DE LETRAS
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